圆弧面积计算公式!

圆弧本身没有面积，包含圆弧的常见图形有扇形和弓形，下面分别给出它们的面积公式：

扇形面积公式

扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。

已知扇形圆心角为$n^{\circ}$，半径为$r$时：

扇形面积$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n$是圆心角度数，$\pi$是圆周率，$r$为扇形半径）。

推导过程：圆的面积公式为$S_{圆}=\pi r^{2}$，整个圆的圆心角是$360^{\circ}$，扇形圆心角为$n^{\circ}$，那么扇形面积占整个圆面积的比例为$\frac{n}{360}$ ，所以扇形面积$S = \frac{n}{360}\times\pi r^{2}=\frac{n\pi r^{2}}{360}$。

 

已知扇形弧长为$l$，半径为$r$时：

扇形面积$S=\frac{1}{2}lr$。

推导过程：我们可以把扇形看作是一个曲边三角形，弧长$l$相当于三角形的底，半径$r$相当于三角形的高，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}\times底\times高$，就得到扇形面积$S=\frac{1}{2}lr$ 。

 

弓形面积公式

弓形是由弦及其所对的弧组成的图形，其面积等于扇形面积减去三角形面积（这里的三角形是以扇形的两条半径和弦构成的等腰三角形）。

当弓形所含的弧是劣弧时：

设扇形圆心角为$n^{\circ}$，半径为$r$，弦长为$a$。先求扇形面积$S_{扇}=\frac{n\pi r^{2}}{360}$ ，再求三角形面积$S_{\triangle}=\frac{1}{2}r^{2}\sin n$（这里利用正弦定理求三角形面积，$n$为圆心角的度数），则弓形面积$S_{弓}=S_{扇}-S_{\triangle}=\frac{n\pi r^{2}}{360}-\frac{1}{2}r^{2}\sin n$。

 

当弓形所含的弧是优弧时：

同样先求出对应的扇形面积$S_{扇}$和三角形面积$S_{\triangle}$，此时弓形面积$S_{弓}=S_{扇}+S_{\triangle}$ 。