求正余弦定理所有公式

正弦定理和余弦定理是解三角形的重要工具，以下为你详细介绍它们的所有公式：

正弦定理

在任意$\triangle ABC$中，角$A$、$B$、$C$所对的边长分别为$a$、$b$、$c$，外接圆半径为$R$，则有：

基本形式：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

该公式表明三角形的各边和它所对角的正弦之比相等，且这个比值等于该三角形外接圆的直径。

 

常见变形：

$a = 2R\sin A$，$b = 2R\sin B$，$c = 2R\sin C$（用于已知外接圆半径和角求边）

$\sin A = \frac{a}{2R}$，$\sin B = \frac{b}{2R}$，$\sin C = \frac{c}{2R}$（用于已知外接圆半径和边求角）

$a:b:c = \sin A:\sin B:\sin C$ （用于根据角的正弦值比例关系求边的比例关系 ）

 

余弦定理

同样对于任意$\triangle ABC$，角$A$、$B$、$C$所对的边长分别为$a$、$b$、$c$：

基本形式：

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$

这三个公式分别描述了三角形中任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

 

常见变形：

$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$

这些变形公式用于已知三角形三边，求三个内角的余弦值，进而求出内角大小。