向量的点乘和叉乘有什么区别?

向量的点乘（数量积）和叉乘（向量积）有诸多区别，主要体现在以下几个方面：

定义与运算规则

点乘：

定义：设两个非零向量 $\vec{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​)，$\vec{b}=(x_2,y_2)$

=(x2​,y2​)，它们的点乘 $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

⋅b

=∣a

∣∣b

∣cosθ，其中 $|\vec{a}|$

∣ 和 $|\vec{b}|$

∣ 分别是向量 $\vec{a}$

和 $\vec{b}$

的模（长度），$\theta$ 是 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

的夹角（$0\leqslant\theta\leqslant\pi$）。

坐标运算：在直角坐标系中，$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2$

⋅b

=x1​x2​+y1​y2​ 。例如，若 $\vec{a}=(2,3)$

=(2,3)，$\vec{b}=(4, - 1)$

=(4,−1)，则 $\vec{a}\cdot\vec{b}=2×4 + 3×(-1)=8 - 3 = 5$

⋅b

=2×4+3×(−1)=8−3=5。

 

叉乘：

定义：对于二维向量 $\vec{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​)，$\vec{b}=(x_2,y_2)$

=(x2​,y2​)，叉乘 $\vec{a}\times\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\vec{n}$

×b

=∣a

∣∣b

∣sinθn

，其中 $|\vec{a}|$

∣ 和 $|\vec{b}|$

∣ 是向量的模，$\theta$ 是两向量的夹角（$0\leqslant\theta\leqslant\pi$），$\vec{n}$

是一个与 $\vec{a}$

和 $\vec{b}$

所在平面垂直的单位向量，其方向由右手定则确定。

坐标运算：在二维空间中，$\vec{a}\times\vec{b}=x_1y_2 - x_2y_1$

×b

=x1​y2​−x2​y1​ 。例如，$\vec{a}=(2,3)$

=(2,3)，$\vec{b}=(4, - 1)$

=(4,−1)，则 $\vec{a}\times\vec{b}=2×(-1)-4×3=-2 - 12=-14$

×b

=2×(−1)−4×3=−2−12=−14 。在三维空间中，若 $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$

=(x1​,y1​,z1​)，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$

=(x2​,y2​,z2​) ，则 $\vec{a}\times\vec{b}=(y_1z_2 - y_2z_1,z_1x_2 - z_2x_1,x_1y_2 - x_2y_1)$

×b

=(y1​z2​−y2​z1​,z1​x2​−z2​x1​,x1​y2​−x2​y1​)。

 

运算结果

点乘：点乘的结果是一个标量（实数），它没有方向。这个标量的值与两个向量的长度以及它们之间的夹角有关，反映了两个向量在方向上的“相似程度”。比如，当两个向量夹角为锐角时，点乘结果为正；夹角为钝角时，点乘结果为负；夹角为直角时，点乘结果为 0 。

叉乘：叉乘的结果是一个向量，该向量与原来的两个向量都垂直。在二维平面中，叉乘结果向量的方向垂直于该平面；在三维空间中，其方向由右手定则来判断。例如在平面直角坐标系中，向量 $\vec{i}=(1,0)$

=(1,0) 与 $\vec{j}=(0,1)$

​=(0,1) ，$\vec{i}\times\vec{j} = 1$

×j

​=1 ，这里结果向量方向垂直于 $xOy$ 平面（在二维情况可简单理解为符合右手定则的一个“虚拟”垂直方向）。

几何意义

点乘：

几何意义之一是 $\vec{a}\cdot\vec{b}$

⋅b

等于 $\vec{a}$

的长度与 $\vec{b}$

在 $\vec{a}$

方向上投影的长度的乘积，或者反之。例如在物理中，恒力 $\vec{F}$

使物体产生位移 $\vec{s}$

，所做的功 $W = \vec{F}\cdot\vec{s}$

⋅s

，就是利用了点乘的这一几何意义。

 

叉乘：

几何意义主要体现在其结果向量的模等于以这两个向量为邻边的平行四边形的面积。例如在计算三角形面积时，如果已知三角形的两条邻边向量 $\vec{a}$

和 $\vec{b}$

，那么三角形面积 $S=\frac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|$

×b

∣ 。

 

应用场景

点乘：

在物理学中用于计算功、热量传递等。例如计算电场力做功，$W = \vec{F}\cdot\vec{d}$

⋅d

（$\vec{F}$

是电场力，$\vec{d}$

是位移）。

在计算机图形学中，点乘可用于判断两个向量的方向关系，如判断光线与平面的夹角等。

 

叉乘：

在物理学里，常用于计算力矩（$\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}$

=r

×F

，$\vec{r}$

是力臂向量，$\vec{F}$

是作用力向量）、角动量等。

在计算机图形学中，叉乘用于确定平面的法向量，进行三维图形的渲染、碰撞检测等操作 。