周期函数中有哪些公式,和判断方法

周期函数的常见公式

基本周期公式

若$f(x + T)=f(x)$（$T\neq0$），则$T$是函数$y = f(x)$的一个周期。对于正弦函数$y=\sin x$，有$\sin(x + 2k\pi)=\sin x$，$k\in Z$且$k\neq0$，其最小正周期$T = 2\pi$；余弦函数$y = \cos x$，$\cos(x + 2k\pi)=\cos x$ ，$k\in Z$且$k\neq0$，最小正周期也是$T = 2\pi$。正切函数$y=\tan x$，$\tan(x + k\pi)=\tan x$，$k\in Z$且$k\neq0$，最小正周期$T=\pi$。

 

周期变换公式

若$y = f(x)$的周期是$T$，那么$y = f(\omega x)$（$\omega\gt0$）的周期$T'=\frac{T}{\omega}$。例如$y = \sin 2x$，因为$y = \sin x$的周期$T = 2\pi$，这里$\omega = 2$，所以$y = \sin 2x$的周期$T'=\frac{2\pi}{2}=\pi$。

若$y = f(x)$满足$f(x + a)= - f(x)$，则函数$y = f(x)$的周期$T = 2a$。证明如下：

已知$f(x + a)= - f(x)$，将$x$换为$x + a$，则$f((x + a)+a)= - f(x + a)$。

又因为$f(x + a)= - f(x)$，所以$f(x + 2a)= - f(x + a)=f(x)$，故周期$T = 2a$。

 

若$f(x + a)=\frac{1}{f(x)}$（$f(x)\neq0$） ，则函数$y = f(x)$的周期$T = 2a$。证明过程：

由$f(x + a)=\frac{1}{f(x)}$，把$x$换成$x + a$，可得$f((x + a)+a)=\frac{1}{f(x + a)}$。

因为$f(x + a)=\frac{1}{f(x)}$，所以$f(x + 2a)=\frac{1}{f(x + a)} = f(x)$，即周期$T = 2a$。

 

若$f(x + a)=-\frac{1}{f(x)}$（$f(x)\neq0$），则函数$y = f(x)$的周期$T = 2a$。证明思路与上述类似，将$x$换为$x + a$进行推导，最终可得出$f(x + 2a)=f(x)$。

 

周期函数的判断方法

定义法

验证$f(x + T)=f(x)$是否成立，其中$T\neq0$。若对于定义域内的任意$x$，都能找到一个非零常数$T$，使得该等式恒成立，则$f(x)$是周期函数，$T$就是它的一个周期。例如判断函数$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{3})$是否为周期函数，根据正弦函数性质$\sin((x + 2\pi)+\frac{\pi}{3})=\sin(x+\frac{\pi}{3})$，满足$f(x + 2\pi)=f(x)$，所以$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{3})$是周期函数，周期为$2\pi$。

 

图象法

画出函数$y = f(x)$的图象，如果图象呈现出每隔一定长度就重复出现的特征，那么该函数是周期函数。这个重复出现的水平距离就是函数的周期。例如，正弦函数$y = \sin x$的图象，在$x$轴方向上每隔$2\pi$的长度，图象的形状就会重复出现，由此可判断其为周期函数且周期是$2\pi$ 。

 

利用已知周期函数的性质

如果一个函数可以通过已知周期函数经过平移、伸缩、四则运算等变换得到，那么可以借助已知周期函数的周期来判断该函数的周期。例如$y = 2\sin(3x - \frac{\pi}{4})+1$，它是由$y = \sin x$先进行横坐标伸缩（$\omega = 3$），再进行相位平移（向右平移$\frac{\pi}{12}$个单位），然后进行纵坐标伸缩（$A = 2$）和上下平移（向上平移$1$个单位）得到的。因为$y = \sin x$周期是$2\pi$，根据周期变换公式$y = \sin(\omega x)$（$\omega\gt0$）周期$T'=\frac{2\pi}{\omega}$，这里$\omega = 3$，所以$y = 2\sin(3x - \frac{\pi}{4})+1$的周期$T=\frac{2\pi}{3}$。