2025-04-12
设两个奇函数分别为f(x)f(x)f(x)和g(x)g(x)g(x),则它们满足f(−x)=−f(x)f(-x)= - f(x)f(−x)=−f(x),g(−x)=−g(x)g(-x)= - g(x)g(−x)=−g(x)。
令h(x)=f(x)g(x)h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}h(x)=g(x)f(x)(g(x)≠0g(x)\neq0g(x)=0 ),那么h(−x)=f(−x)g(−x)h(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}h(−x)=g(−x)f(−x)。
将f(−x)=−f(x)f(-x)= - f(x)f(−x)=−f(x),g(−x)=−g(x)g(-x)= - g(x)g(−x)=−g(x)代入h(−x)h(-x)h(−x)可得:
h(−x)=−f(x)−g(x)=f(x)g(x)=h(x)h(-x)=\frac{-f(x)}{-g(x)}=\frac{f(x)}{g(x)} = h(x)h(−x)=−g(x)−f(x)=g(x)f(x)=h(x)
所以,奇函数除以奇函数(分母不为零)所得函数为偶函数 。