sec(x)的导数=sec(x)tan(x)

推导过程一：利用商的求导法则

首先，我们知道$\sec x=\frac{1}{\cos x}$。

根据商的求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}$，对于$y = \frac{1}{\cos x}$，这里$u = 1$，$v=\cos x$。

那么$u^\prime = 0$（常数的导数为$0$），$v^\prime=-\sin x$（$\cos x$的导数是$-\sin x$）。

所以$y^\prime=\frac{0\times\cos x - 1\times(-\sin x)}{\cos^{2}x}=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}$。

又因为$\frac{\sin x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos x}\times\frac{\sin x}{\cos x}$，而$\frac{1}{\cos x}=\sec x$，$\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$，所以$y^\prime=\sec x\tan x$，即$(\sec x)^\prime = \sec x\tan x$ 。

 

推导过程二：利用复合函数求导法则

把$\sec x$写成$(\cos x)^{-1}$的形式。

令$u = \cos x$，则$y = u^{-1}$。

先对$y$关于$u$求导，根据幂函数求导公式$(x^{n})^\prime = nx^{n - 1}$，可得$y^\prime_{u}=-1\times u^{-2}=-\frac{1}{u^{2}}$。

再对$u$关于$x$求导，$u^\prime_{x}=-\sin x$。

根据复合函数求导法则$y^\prime_{x}=y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}$。

将$y^\prime_{u}=-\frac{1}{u^{2}}$，$u^\prime_{x}=-\sin x$代入可得：$y^\prime_{x}=-\frac{1}{u^{2}}\times(-\sin x)$。

把$u = \cos x$代回，得到$y^\prime_{x}=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}=\sec x\tan x$，即$(\sec x)^\prime=\sec x\tan x$。

 

综上，$\sec(x)$的导数是$\sec(x)\tan(x)$。