tan和sincos的关系公式

在三角函数中，$\tan$（正切）与 $\sin$（正弦）、$\cos$（余弦）有密切的关系，相关公式如下：

基本关系公式

商数关系

$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$（$\cos\alpha\neq0$）。这个公式表明，角 $\alpha$ 的正切值等于它的正弦值与余弦值的商。例如，当 $\alpha = 45^{\circ}$ 时，$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

​​，$\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

​​，则 $\tan45^{\circ}=\frac{\sin45^{\circ}}{\cos45^{\circ}} = 1$。

 

平方关系的推导应用

由 $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$ 和 $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，还可以推导出一些关于 $\tan$ 与 $\sin$、$\cos$ 的变形公式：

用 $\tan$ 表示 $\sin$ 和 $\cos$

因为 $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，所以 $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha$。

又因为 $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$，将 $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha$ 代入可得：$(\tan\alpha \cdot \cos\alpha)^{2}+\cos^{2}\alpha = 1$，即 $\cos^{2}\alpha(\tan^{2}\alpha + 1)=1$，那么 $\cos^{2}\alpha=\frac{1}{1 + \tan^{2}\alpha}$，进而 $\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2}\alpha}}$

​1​。

再把 $\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2}\alpha}}$

​1​ 代回 $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha$，可得 $\sin\alpha=\pm\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1 + \tan^{2}\alpha}}$

​tanα​ 。这里正负号的选取取决于角 $\alpha$ 所在的象限。

 

这些公式在三角函数的化简、求值、证明等问题中经常用到，帮助我们在不同的三角函数之间进行灵活转换。