切线的斜率怎么求RT有没有什么公式之类的……坐等

求切线的斜率主要有以下两种常见情况及方法：

已知函数$y = f(x)$在某点处的切线斜率

定义法

函数$y = f(x)$在点$x_0$处的切线斜率$k$，可以根据导数的定义来求。导数的定义为$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$，这里的$f^\prime(x_0)$就是函数$y = f(x)$在点$x_0$处切线的斜率$k$ 。

例如，对于函数$y = x^2$，要求在点$x = 1$处切线的斜率。

首先，计算$\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$，$f(x)=x^2$，则$f(1+\Delta x)=(1 + \Delta x)^2 = 1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2$，$f(1)=1$。

那么$\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\frac{1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 - 1}{\Delta x}=2+\Delta x$。

当$\Delta x \to 0$时，$\lim\limits_{\Delta x \to 0}(2+\Delta x)=2$，所以函数$y = x^2$在点$x = 1$处切线的斜率为$2$。

 

 

公式法（求导公式）

先求出函数$y = f(x)$的导函数$y^\prime = f^\prime(x)$，然后将切点的横坐标$x_0$代入导函数$f^\prime(x)$中，得到的值$f^\prime(x_0)$就是曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处切线的斜率$k$。

常见函数的求导公式：

若$y = C$（$C$为常数），则$y^\prime = 0$；

若$y = x^n$（$n$为实数），则$y^\prime = nx^{n - 1}$；

若$y = \sin x$，则$y^\prime=\cos x$；

若$y = \cos x$，则$y^\prime = -\sin x$；

若$y = a^x$（$a>0,a\neq1$），则$y^\prime = a^x\ln a$；

若$y = e^x$，则$y^\prime = e^x$；

若$y = \log_a x$（$a>0,a\neq1,x>0$），则$y^\prime=\frac{1}{x\ln a}$；

若$y = \ln x$，则$y^\prime=\frac{1}{x}$。

 

例如，对于函数$y = 3x^3 - 2x + 1$，根据求导公式，$y^\prime = 9x^2 - 2$。如果要求在点$x = 2$处切线的斜率，把$x = 2$代入导函数$y^\prime$中，可得$y^\prime|_{x = 2}=9\times2^2 - 2 = 9\times4 - 2 = 34$，即该函数在点$x = 2$处切线的斜率为$34$。

 

已知曲线的参数方程$\begin{cases}x = x(t)\\y = y(t)\end{cases}$求切线斜率

首先根据参数方程求导公式$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$（前提是$\frac{dx}{dt}\neq0$）求出$\frac{dy}{dx}$关于参数$t$的表达式。

然后将切点对应的参数值$t_0$代入$\frac{dy}{dx}$的表达式中，得到的值就是曲线在该点处切线的斜率$k$。

例如，已知曲线的参数方程为$\begin{cases}x = t^2\\y = t^3\end{cases}$，先求$\frac{dx}{dt}=2t$，$\frac{dy}{dt}=3t^2$，那么$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3}{2}t$。若求$t = 1$时切线的斜率，把$t = 1$代入$\frac{dy}{dx}$，可得斜率$k=\frac{3}{2}\times1=\frac{3}{2}$ 。