x的导数是什么?为什么?

$x$ 的导数：

函数 $y = x$ 的导数 $y^\prime = 1$。

 

推导过程（利用导数的定义）：

导数的定义为函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。

对于函数 $y = f(x)=x$，那么 $f(x + \Delta x)=x+\Delta x$，$f(x)=x$。

则 $f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)-x}{\Delta x}$。

对分子进行化简：$(x+\Delta x)-x=\Delta x$，此时式子变为 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta x}$。

当 $\Delta x \to 0$ 时（但 $\Delta x\neq0$，因为分母不能为 $0$），$\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$，所以 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$。

也就是函数 $y = x$ 的导数为 $1$ 。

 

从几何意义上理解，函数 $y = x$ 的图像是一条斜率为 $1$ 的直线，而函数在某点的导数就是该函数所代表曲线在这一点切线的斜率，直线 $y = x$ 上任意一点切线斜率都为 $1$，所以 $y = x$ 的导数是 $1$ 。