等边三角形面积公式是什么

等边三角形面积公式有多种表达形式，以下为您详细介绍：

已知边长$a$求面积

设等边三角形边长为$a$，先求其高$h$。根据勾股定理，等边三角形的高把等边三角形平分为两个全等的直角三角形，直角三角形的斜边为等边三角形的边长$a$，一条直角边为边长的一半$\frac{a}{2}$。

则高$h = \sqrt{a^{2} - (\frac{a}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{3a^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

​=43a2​

​=23

​​a

所以面积$S = \frac{1}{2}×底×高 = \frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

​​a=43

​​a2

已知周长$C$求面积

因为等边三角形三边相等，若周长$C$已知，则边长$a = \frac{C}{3}$，将其代入上述面积公式$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

​​a2可得：

$S = \frac{\sqrt{3}}{4}×(\frac{C}{3})^{2} = \frac{\sqrt{3}C^{2}}{36}$

​​×(3C​)2=363

​C2​

已知外接圆半径$R$求面积

由正弦定理可知，$\frac{a}{\sin A} = 2R$（$A$为三角形的内角，$a$为角$A$所对的边），对于等边三角形，$A = 60^{\circ}$，$\sin A = \sin60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

​​

则$a = 2R\sin A = 2R×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}R$

​​=3

​R

将$a = \sqrt{3}R$

​R代入面积公式$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

​​a2可得：

$S = \frac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{3}R)^{2} = \frac{3\sqrt{3}R^{2}}{4}$

​​×(3

​R)2=433

​R2​

已知内切圆半径$r$求面积

由于等边三角形的内心与外心重合，且内切圆半径$r$与外接圆半径$R$以及边长$a$存在关系$r = \frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$

​​a，即$a = \frac{2r}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4r}{\sqrt{3}}$

​​2r​=3

​4r​

将$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$

​4r​代入面积公式$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

​​a2可得：

$S = \frac{\sqrt{3}}{4}×(\frac{4r}{\sqrt{3}})^{2} = \frac{4\sqrt{3}r^{2}}{3}$

​​×(3

​4r​)2=343

​r2​

最常用的是根据边长计算面积的公式$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

​​a2，您可根据题目所给条件选择合适的公式进行计算。