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双曲线的参数方程是咋样的?

焦点在xx轴上的双曲线x2a2y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1a>0a\gt0b>0b\gt0)的参数方程

标准形式为{x=asecφy=btanφ\begin{cases}x = a\sec\varphi \\ y = b\tan\varphi\end{cases}φ\varphi为参数),其中secφ=1cosφ\sec\varphi=\frac{1}{\cos\varphi}。这里参数φ\varphi的几何意义是双曲线上一点M(x,y)M(x,y)对应的离心角 。

推导过程:我们知道sec2φtan2φ=1\sec^{2}\varphi - \tan^{2}\varphi = 1。令x=asecφx = a\sec\varphiy=btanφy = b\tan\varphi,则x2a2=sec2φ\frac{x^{2}}{a^{2}}=\sec^{2}\varphiy2b2=tan2φ\frac{y^{2}}{b^{2}}=\tan^{2}\varphi,那么x2a2y2b2=sec2φtan2φ=1\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\sec^{2}\varphi - \tan^{2}\varphi = 1,符合双曲线x2a2y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1的方程形式。

 

焦点在yy轴上的双曲线y2a2x2b2=1\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1a>0a\gt0b>0b\gt0)的参数方程

标准形式为{x=btanφy=asecφ\begin{cases}x = b\tan\varphi \\ y = a\sec\varphi\end{cases}φ\varphi为参数)。同样基于sec2φtan2φ=1\sec^{2}\varphi - \tan^{2}\varphi = 1,当令x=btanφx = b\tan\varphiy=asecφy = a\sec\varphi时,y2a2=sec2φ\frac{y^{2}}{a^{2}}=\sec^{2}\varphix2b2=tan2φ\frac{x^{2}}{b^{2}}=\tan^{2}\varphi,所以y2a2x2b2=sec2φtan2φ=1\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=\sec^{2}\varphi - \tan^{2}\varphi = 1,满足双曲线y2a2x2b2=1\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1的方程。