椭圆面积的计算公式为 S=πab,其中 S 表示椭圆的面积,π 是圆周率(通常取 3.14),a 是椭圆长半轴的长度,b 是椭圆短半轴的长度。
下面为你简单介绍该公式的推导思路(涉及到高等数学知识):
椭圆的标准方程为 a2x2+b2y2=1,可变形为 y=±aba2−x2
。
由于椭圆关于 x 轴和 y 轴对称,我们可以先计算第一象限部分(x≥0,y≥0)的面积,然后乘以 4 就得到整个椭圆的面积。
第一象限部分曲线函数为 y=aba2−x2
,对其在区间 [0,a] 上进行定积分可得第一象限部分的面积:
S1=∫0aaba2−x2
dx
令 x=asint,则 dx=acostdt。当 x=0 时,t=0;当 x=a 时,t=2π。
代入积分式可得:
S1=∫02πaba2−a2sin2t
⋅acostdt=∫02πab⋅acost⋅acostdt=ab∫02πcos2tdt
根据三角函数的降幂公式 cos2t=21+cos2t,则积分变为:
S1=ab∫02π21+cos2tdt=ab[21t+41sin2t]02π=ab(4π+0−0−0)=4πab
整个椭圆面积 S=4S1=πab 。