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数学椭圆面积怎么计算

椭圆面积的计算公式为 S=πabS = \pi ab,其中 SS 表示椭圆的面积,π\pi 是圆周率(通常取 3.143.14),aa 是椭圆长半轴的长度,bb 是椭圆短半轴的长度。

下面为你简单介绍该公式的推导思路(涉及到高等数学知识):
椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,可变形为 y=±baa2x2y = \pm\frac{b}{a}\sqrt{a^{2} - x^{2}}


由于椭圆关于 xx 轴和 yy 轴对称,我们可以先计算第一象限部分(x0x \geq 0y0y \geq 0)的面积,然后乘以 44 就得到整个椭圆的面积。
第一象限部分曲线函数为 y=baa2x2y = \frac{b}{a}\sqrt{a^{2} - x^{2}}

,对其在区间 [0,a][0, a] 上进行定积分可得第一象限部分的面积:

S1=0abaa2x2dx\begin{align*} S_1&=\int_{0}^{a}\frac{b}{a}\sqrt{a^{2} - x^{2}}dx\\ \end{align*}

dx

x=asintx = a\sin t,则 dx=acostdtdx = a\cos tdt。当 x=0x = 0 时,t=0t = 0;当 x=ax = a 时,t=π2t = \frac{\pi}{2}
代入积分式可得:

S1=0π2baa2a2sin2tacostdt=0π2baacostacostdt=ab0π2cos2tdt\begin{align*} S_1&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{b}{a}\sqrt{a^{2} - a^{2}\sin^{2}t} \cdot a\cos tdt\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{b}{a}\cdot a\cos t\cdot a\cos tdt\\ &=ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}tdt\\ \end{align*}

acostdt=02πabacostacostdt=ab02πcos2tdt

根据三角函数的降幂公式 cos2t=1+cos2t2\cos^{2}t = \frac{1 + \cos 2t}{2},则积分变为:

S1=ab0π21+cos2t2dt=ab[12t+14sin2t]0π2=ab(π4+000)=πab4\begin{align*} S_1&=ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1 + \cos 2t}{2}dt\\ &=ab\left[\frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin 2t\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=ab\left(\frac{\pi}{4} + 0 - 0 - 0\right)\\ &=\frac{\pi ab}{4} \end{align*}

整个椭圆面积 S=4S1=πabS = 4S_1 = \pi ab