数学椭圆面积怎么计算

椭圆面积的计算公式为 $S = \pi ab$，其中 $S$ 表示椭圆的面积，$\pi$ 是圆周率（通常取 $3.14$），$a$ 是椭圆长半轴的长度，$b$ 是椭圆短半轴的长度。

下面为你简单介绍该公式的推导思路（涉及到高等数学知识）：
椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，可变形为 $y = \pm\frac{b}{a}\sqrt{a^{2} - x^{2}}$

​。
由于椭圆关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称，我们可以先计算第一象限部分（$x \geq 0$，$y \geq 0$）的面积，然后乘以 $4$ 就得到整个椭圆的面积。
第一象限部分曲线函数为 $y = \frac{b}{a}\sqrt{a^{2} - x^{2}}$

​，对其在区间 $[0, a]$ 上进行定积分可得第一象限部分的面积：

$$\begin{align*} S_1&=\int_{0}^{a}\frac{b}{a}\sqrt{a^{2} - x^{2}}dx\\ \end{align*}$$

​dx​

令 $x = a\sin t$，则 $dx = a\cos tdt$。当 $x = 0$ 时，$t = 0$；当 $x = a$ 时，$t = \frac{\pi}{2}$。
代入积分式可得：

$$\begin{align*} S_1&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{b}{a}\sqrt{a^{2} - a^{2}\sin^{2}t} \cdot a\cos tdt\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{b}{a}\cdot a\cos t\cdot a\cos tdt\\ &=ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}tdt\\ \end{align*}$$

​⋅acostdt=∫02π​​ab​⋅acost⋅acostdt=ab∫02π​​cos2tdt​

根据三角函数的降幂公式 $\cos^{2}t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$，则积分变为：

$$\begin{align*} S_1&=ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1 + \cos 2t}{2}dt\\ &=ab\left[\frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin 2t\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=ab\left(\frac{\pi}{4} + 0 - 0 - 0\right)\\ &=\frac{\pi ab}{4} \end{align*}$$

整个椭圆面积 $S = 4S_1 = \pi ab$ 。