二阶导数是什么?请举例几个

二阶导数是一阶导数的导数，用于描述函数的变化率的变化情况。它反映了函数图像的弯曲程度和凹凸性。

定义

设函数 $y = f(x)$ 在某个区间内可导，如果 $f^\prime(x)$ 在该区间内也可导，则称 $f^\prime(x)$ 的导数为函数 $y = f(x)$ 的二阶导数，记作 $y^{\prime\prime}$ 、$f^{\prime\prime}(x)$ 或 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 。

举例

求函数 $y = x^{3}$ 的二阶导数

步骤一：求一阶导数
根据求导公式 $(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$ ，对 $y = x^{3}$ 求导，可得 $y^\prime = 3x^{2}$ 。

步骤二：求二阶导数
对 $y^\prime = 3x^{2}$ 再次求导，同样根据求导公式，可得 $y^{\prime\prime} = (3x^{2})^\prime = 3\times2x = 6x$ 。

 

求函数 $y = \sin x$ 的二阶导数

步骤一：求一阶导数
根据求导公式 $(\sin x)^\prime = \cos x$ ，所以 $y^\prime = \cos x$ 。

步骤二：求二阶导数
对 $y^\prime = \cos x$ 再次求导，由求导公式 $(\cos x)^\prime = -\sin x$ ，可得 $y^{\prime\prime} = -\sin x$ 。

 

求函数 $y = e^{2x}$ 的二阶导数

步骤一：求一阶导数
令 $u = 2x$ ，则 $y = e^u$ 。根据复合函数求导法则 $(e^u)^\prime = e^u \cdot u^\prime$ ，先对 $e^u$ 关于 $u$ 求导得 $e^u$ ，再对 $u = 2x$ 关于 $x$ 求导得 $2$ ，所以 $y^\prime = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$ 。

步骤二：求二阶导数
对 $y^\prime = 2e^{2x}$ 再次求导，同理可得 $y^{\prime\prime} = 2\times e^{2x} \cdot 2 = 4e^{2x}$ 。

 

求函数 $y = \ln x$ 的二阶导数

步骤一：求一阶导数
根据求导公式 $(\ln x)^\prime = \frac{1}{x}$ ，所以 $y^\prime = \frac{1}{x}$ 。

步骤二：求二阶导数
对 $y^\prime = \frac{1}{x}=x^{-1}$ 再次求导，根据求导公式 $(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$ ，可得 $y^{\prime\prime} = (-1) \times x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}$ 。