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反三角函数的定义域是什么

反三角函数是三角函数的反函数,包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数,它们的定义域各不相同:

反正弦函数 y=arcsinxy = \arcsin x

定义域[1,1][-1, 1]

解释:正弦函数 y=sinxy = \sin x 的值域是 [1,1][-1, 1],根据反函数的性质,其反函数反正弦函数 y=arcsinxy = \arcsin x 的定义域就是原函数的值域,所以 xx 的取值范围是 1x1-1\leqslant x\leqslant 1。这意味着只有当 xx[1,1][-1, 1] 这个区间内,反正弦函数才有意义。例如,arcsin(0.5)\arcsin(0.5) 是有意义的,因为 0.50.5[1,1][-1, 1] 内;而 arcsin(1.5)\arcsin(1.5) 无意义,因为 1.51.5 不在 [1,1][-1, 1] 范围内。

 

反余弦函数 y=arccosxy = \arccos x

定义域[1,1][-1, 1]

解释:余弦函数 y=cosxy = \cos x 的值域是 [1,1][-1, 1],所以反余弦函数 y=arccosxy = \arccos x 的定义域也是 [1,1][-1, 1]。同样,只有 xx 满足 1x1-1\leqslant x\leqslant 1 时,arccosx\arccos x 才有定义。比如 arccos(0.3)\arccos(-0.3) 有意义,而 arccos(2)\arccos(2) 无意义。

 

反正切函数 y=arctanxy = \arctan x

定义域(,+)(-\infty, +\infty)

解释:正切函数 y=tanxy = \tan x 的值域是全体实数,即 (,+)(-\infty, +\infty),那么反正切函数 y=arctanxy = \arctan x 的定义域就是 (,+)(-\infty, +\infty)。对于任意实数 xxarctanx\arctan x 都有意义。例如 arctan(100)\arctan(100)arctan(3)\arctan(-\sqrt{3})

) 等都是有意义的。

 

反余切函数 y=arccotxy = \text{arccot} x

定义域(,+)(-\infty, +\infty)

解释:余切函数 y=cotxy = \cot x 的值域是全体实数 (,+)(-\infty, +\infty),所以反余切函数 y=arccotxy = \text{arccot} x 的定义域也是 (,+)(-\infty, +\infty) ,任何实数 xx 都能使 arccotx\text{arccot} x 有意义。