幂函数的定义域是什么?

幂函数的一般形式为$y = x^{\alpha}$（$\alpha$为常数），其定义域随$\alpha$取值的不同而有所差异：

当$\alpha$为正整数时，定义域是$R$（全体实数）。例如$y = x$，$y = x^{2}$，$y = x^{3}$等，对于任意实数$x$，函数都有意义。

当$\alpha$为零 时，幂函数变为$y = x^{0}$，此时定义域是$\{x|x \neq 0\}$。因为$0$的$0$次方没有意义，当$x\neq0$时，$x^{0}=1$ 。

当$\alpha$为负整数时，设$\alpha = -n$（$n$为正整数），则幂函数为$y = x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}$，其定义域是$\{x|x \neq 0\}$。因为分母不能为$0$，当$x = 0$时，$\frac{1}{x^{n}}$无意义。

当$\alpha$为正分数时，设$\alpha=\frac{m}{n}$（$m,n$为互质的正整数，且$n>1$）：

若$n$为偶数，则$y = x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^{m}}$

​，此时定义域是$[0, +\infty)$。因为在实数范围内，偶次根式下的数必须非负。例如$y = x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$

​，$x$必须大于等于$0$才有意义。

若$n$为奇数，则定义域是$R$。例如$y = x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$

​，对于任意实数$x$，开三次方都有意义。

 

当$\alpha$为负分数时，设$\alpha = -\frac{m}{n}$（$m,n$为互质的正整数，且$n > 1$），则$y = x^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{x^{\frac{m}{n}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{x^{m}}}$

​1​：

若$n$为偶数，定义域是$(0, +\infty)$。因为分母不能为$0$且偶次根式下的数要大于$0$。例如$y = x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$

​1​，$x$需大于$0$。

若$n$为奇数，定义域是$\{x|x \neq 0\}$。例如$y = x^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

​1​，$x$不能为$0$。