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幂函数的定义域是什么?

幂函数的一般形式为y=xαy = x^{\alpha}α\alpha为常数),其定义域随α\alpha取值的不同而有所差异:

α\alpha为正整数时,定义域是RR(全体实数)。例如y=xy = xy=x2y = x^{2}y=x3y = x^{3}等,对于任意实数xx,函数都有意义。

α\alpha为零 时,幂函数变为y=x0y = x^{0},此时定义域是{xx0}\{x|x \neq 0\}。因为0000次方没有意义,当x0x\neq0时,x0=1x^{0}=1

α\alpha为负整数时,设α=n\alpha = -nnn为正整数),则幂函数为y=xn=1xny = x^{-n}=\frac{1}{x^{n}},其定义域是{xx0}\{x|x \neq 0\}。因为分母不能为00,当x=0x = 0时,1xn\frac{1}{x^{n}}无意义。

α\alpha为正分数时,设α=mn\alpha=\frac{m}{n}m,nm,n为互质的正整数,且n>1n>1):

nn为偶数,则y=xmn=xmny = x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^{m}}

,此时定义域是[0,+)[0, +\infty)。因为在实数范围内,偶次根式下的数必须非负。例如y=x12=xy = x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}

xx必须大于等于00才有意义。

nn为奇数,则定义域是RR。例如y=x13=x3y = x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}

,对于任意实数xx,开三次方都有意义。

 

α\alpha为负分数时,设α=mn\alpha = -\frac{m}{n}m,nm,n为互质的正整数,且n>1n > 1),则y=xmn=1xmn=1xmny = x^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{x^{\frac{m}{n}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{x^{m}}}

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nn为偶数,定义域是(0,+)(0, +\infty)。因为分母不能为00且偶次根式下的数要大于00。例如y=x12=1xy = x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}

1xx需大于00

nn为奇数,定义域是{xx0}\{x|x \neq 0\}。例如y=x13=1x3y = x^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}

1xx不能为00