幂函数的一般形式为y=xα(α为常数),其定义域随α取值的不同而有所差异:
当α为正整数时,定义域是R(全体实数)。例如y=x,y=x2,y=x3等,对于任意实数x,函数都有意义。
当α为零 时,幂函数变为y=x0,此时定义域是{x∣x=0}。因为0的0次方没有意义,当x=0时,x0=1 。
当α为负整数时,设α=−n(n为正整数),则幂函数为y=x−n=xn1,其定义域是{x∣x=0}。因为分母不能为0,当x=0时,xn1无意义。
当α为正分数时,设α=nm(m,n为互质的正整数,且n>1):
若n为偶数,则y=xnm=nxm
,此时定义域是[0,+∞)。因为在实数范围内,偶次根式下的数必须非负。例如y=x21=x
,x必须大于等于0才有意义。
若n为奇数,则定义域是R。例如y=x31=3x
,对于任意实数x,开三次方都有意义。
当α为负分数时,设α=−nm(m,n为互质的正整数,且n>1),则y=x−nm=xnm1=nxm
1:
若n为偶数,定义域是(0,+∞)。因为分母不能为0且偶次根式下的数要大于0。例如y=x−21=x
1,x需大于0。
若n为奇数,定义域是{x∣x=0}。例如y=x−31=3x
1,x不能为0。